Примеры логические парадоксы: Логические парадоксы

Содержание

Занимательные логические парадоксы — Мастерок.жж.рф — LiveJournal

Учёные и мыслители с давних времён любят развлекать себя и коллег постановкой неразрешимых задач и формулированием разного рода парадоксов. Некоторые из подобных мысленных экспериментов сохраняют актуальность на протяжении тысяч лет, что свидетельствует о несовершенстве многих популярных научных моделей и «дырах» в общепринятых теориях, давно считающихся фундаментальными.

Предлагаем вам поразмыслить над наиболее интересными и удивительными парадоксами, которые, как сейчас выражаются, «взорвали мозг» не одному поколению логиков, философов и математиков.

1. Апория «Ахиллес и черепаха»

 

Парадокс Ахиллеса и черепахи — одна из апорий (логически верных, но противоречивых высказываний), сформулированных древнегреческим философом Зеноном Элейским в V-м веке до нашей эры. Суть её в следующем: легендарный герой Ахиллес решил посоревноваться в беге с черепахой. Как известно, черепахи не отличаются прыткостью, поэтому Ахиллес дал сопернику фору в 500 м. Когда черепаха преодолевает эту дистанцию, герой пускается в погоню со скоростью в 10 раз большей, то есть пока черепаха ползёт 50 м, Ахиллес успевает пробежать данные ей 500 м форы. Затем бегун преодолевает следующие 50 м, но черепаха в это время отползает ещё на 5 м, кажется, что Ахиллес вот-вот её догонит, однако соперница всё ещё впереди и пока он бежит 5 м, ей удаётся продвинуться ещё на полметра и так далее. Дистанция между ними бесконечно сокращается, но по идее, герою так и не удаётся догнать медлительную черепаху, она ненамного, но всегда опережает его.

 

© www.student31.ru

 

Конечно, с точки зрения физики парадокс не имеет смысла — если Ахиллес движется намного быстрее, он в любом случае вырвется вперёд, однако Зенон, в первую очередь, хотел продемонстрировать своими рассуждениями, что идеализированные математические понятия «точка пространства» и «момент времени» не слишком подходят для корректного применения к реальному движению. Апория выявляет расхождение между математически обоснованной идеей, что ненулевые интервалы пространства и времени можно делить бесконечно (поэтому черепаха должна всегда оставаться впереди) и реальностью, в которой герой, конечно, выигрывает гонку.

 

 

2. Парадокс временной петли

«Новые путешественники во времени» Дэвида Туми

 

Парадоксы, описывающие путешествия во времени, давно служат источником вдохновения для писателей-фантастов и создателей научно-фантастических фильмов и сериалов. Существует несколько вариантов парадоксов временной петли, один из самых простых и наглядных примеров подобной проблемы привёл в своей книге «The New Time Travelers» («Новые путешественники во времени») Дэвид Туми, профессор из Университета Массачусетса.

Представьте себе, что путешественник во времени купил в книжном магазине экземпляр шекспировского «Гамлета». Затем он отправился в Англию времён Королевы-девы Елизаветы I и отыскав Уильяма Шекспира, вручил ему книгу. Тот переписал её и издал, как собственное сочинение. Проходят сотни лет, «Гамлета» переводят на десятки языков, бесконечно переиздают, и одна из копий оказывается в том самом книжном магазине, где путешественник во времени покупает её и отдаёт Шекспиру, а тот снимает копию и так далее… Кого в таком случае нужно считать автором бессмертной трагедии?

 

 

3. Парадокс девочки и мальчика

 

Мартин Гарднер / © www.post-gazette.com

 

В теории вероятностей этот парадокс также называют «Дети мистера Смита» или «Проблемы миссис Смит». Впервые он был сформулирован американским математиком Мартином Гарднером в одном из номеров журнала «Scientific American». Учёные спорят над парадоксом уже несколько десятилетий и существует несколько способов его разрешения. Поразмыслив над проблемой, вы можете предложить и свой собственный вариант.

В семье есть двое детей и точно известно, что один из них — мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок тоже имеет мужской пол? На первый взгляд, ответ вполне очевиден — 50 на 50, либо он действительно мальчик, либо девочка, шансы должны быть равными. Проблема в том, что для двухдетных семей существует четыре возможных комбинации полов детей — две девочки, два мальчика, старший мальчик и младшая девочка и наоборот — девочка старшего возраста и мальчик младшего. Первую можно исключить, так как один из детей совершенно точно мальчик, но в таком случае остаются три возможных варианта, а не два и вероятность того, что второе чадо тоже мальчик — один шанс из трёх.

 

 

4. Парадокс Журдена с карточкой

Проблему, предложенную британским логиком и математиком Филиппом Журденом в начале XX-го века, можно считать одной из разновидностей знаменитого парадокса лжеца.

 

Филипп Журден

 

Представьте себе — вы держите в руках открытку, на которой написано: «Утверждение на обратной стороне открытки истинно». Перевернув открытку, вы обнаруживаете фразу «Утверждение на другой стороне ложно». Как вы понимаете, противоречие налицо: если первое утверждение правдиво, то второе тоже соответствует действительности, но в таком случае первое должно оказаться ложным. Если же первая сторона открытки лжива, то фразу на второй также нельзя считать истинной, а это значит, первое утверждение опять-таки становится правдой… Ещё более интересный вариант парадокса лжеца — в следующем пункте.

 

 

 

5. Софизм «Крокодил»

На берегу реки стоят мать с ребёнком, вдруг к ним подплывает крокодил и затаскивает ребёнка в воду. Безутешная мать просит вернуть её чадо, на что крокодил отвечает, что согласен отдать его целым и невредимым, если женщина правильно ответит на его вопрос: «Вернёт ли он её ребёнка?». Понятно, что у женщины два варианта ответа — да или нет. Если она утверждает, что крокодил отдаст ей ребёнка, то всё зависит от животного — посчитав ответ правдой, похититель отпустит ребёнка, если же он скажет, что мать ошиблась, то ребёнка ей не видать, согласно всем правилам договора.

 

 

© Коракс Сиракузский

 

Отрицательный ответ женщины всё значительно усложняет — если он оказывается верным, похититель должен выполнить условия сделки и отпустить дитя, но таким образом ответ матери не будет соответствовать действительности. Чтобы обеспечить лживость такого ответа, крокодилу нужно вернуть ребёнка матери, но это противоречит договору, ведь её ошибка должна оставить чадо у крокодила.

Стоит отметить, что сделка, предложенная крокодилом, содержит логическое противоречие, поэтому его обещание невыполнимо. Автором этого классического софизма считается оратор, мыслитель и политический деятель Коракс Сиракузский, живший в V-м веке до нашей эры.

 

 

6. Апория «Дихотомия»

© www.student31.ru

 

Ещё один парадокс от Зенона Элейского, демонстрирующий некорректность идеализированной математической модели движения. Проблему можно поставить так — скажем, вы задались целью пройти какую-нибудь улицу вашего города от начала и до конца. Для этого вам необходимо преодолеть первую её половину, затем половину оставшейся половины, далее половину следующего отрезка и так далее. Иначе говоря — вы проходите половину всего расстояния, затем четверть, одну восьмую, одну шестнадцатую — количество уменьшающихся отрезков пути стремится к бесконечности, так как любую оставшуюся часть можно разделить надвое, значит пройти весь путь целиком невозможно. Формулируя несколько надуманный на первый взгляд парадокс, Зенон хотел показать, что математические законы противоречат реальности, ведь на самом деле вы можете без труда пройти всё расстояние без остатка.

 

 

7. Апория «Летящая стрела»

Знаменитый парадокс Зенона Элейского затрагивает глубочайшие противоречия в представлениях учёных о природе движения и времени. Апория сформулирована так: стрела, выпущенная из лука, остаётся неподвижной, так как в любой момент времени она покоится, не совершая перемещения. Если в каждый момент времени стрела покоится, значит она всегда находится в состоянии покоя и не движется вообще, так как нет момента времени, в который стрела перемещается в пространстве.

 

 

© www.academic.ru

 

Выдающиеся умы человечества веками пытаются разрешить парадокс летящей стрелы, однако с логической точки зрения он составлен абсолютно верно. Для его опровержения требуется объяснить, каким образом конечный временной отрезок может состоять из бесконечного числа моментов времени — доказать это не удалось даже Аристотелю, убедительно критиковавшему апорию Зенона. Аристотель справедливо указывал, что отрезок времени нельзя считать суммой неких неделимых изолированных моментов, однако многие учёные считают, что его подход не отличается глубиной и не опровергает наличие парадокса. Стоит отметить, что постановкой проблемы летящей стрелы Зенон стремился не опровергнуть возможность движения, как таковую, а выявить противоречия в идеалистических математических концепциях.

 

 

8. Парадокс Галилея

Галилео Галилей / © Wikimedia

 

В своём труде «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» Галилео Галилей предложил парадокс, демонстрирующий любопытные свойства бесконечных множеств. Учёный сформулировал два противоречащих друг другу суждения. Первое: есть числа, представляющие собой квадраты других целых чисел, например 1, 9, 16, 25, 36 и так далее. Существуют и другие числа, у которых нет этого свойства — 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и тому подобные. Таким образом, общее количество точных квадратов и обычных чисел должно быть больше, чем количество только точных квадратов. Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, а для каждого квадрата существует целый квадратный корень, то есть, количество квадратов равно количеству натуральных чисел.

На основании этого противоречия Галилей сделал вывод, что рассуждения о количестве элементов применены только к конечным множествам, хотя позже математики ввели понятие, мощности множества — с его помощью была доказана верность второго суждения Галилея и для бесконечных множеств.

 

 

9. Парадокс мешка картофеля

© nieidealne-danie.blogspot.com

 

Допустим, у некоего фермера имеется мешок картофеля весом ровно 100 кг. Изучив его содержимое, фермер обнаруживает, что мешок хранился в сырости — 99% его массы составляет вода и 1% остальные вещества, содержащиеся в картофеле. Он решает немного высушить картофель, чтобы содержание воды в нём снизилось до 98% и переносит мешок в сухое место. На следующий день оказывается, что, один литр (1 кг) воды действительно испарился, но вес мешка уменьшился со 100 до 50 кг, как такое может быть? Давайте посчитаем — 99% от 100 кг это 99 кг, значит соотношение массы сухого остатка и массы воды изначально было равно 1/99. После сушки вода насчитывает 98% от общей массы мешка, значит соотношение массы сухого остатка к массе воды теперь составляет 1/49. Так как масса остатка не изменилась, оставшаяся вода весит 49 кг.

Конечно, внимательный читатель сразу обнаружит грубейшую математическую ошибку в расчётах — мнимый шуточный «парадокс мешка картофеля» можно считать отличным примером того, как с помощью на первый взгляд «логичных» и «научно подкреплённых» рассуждений можно буквально на пустом месте выстроить теорию, противоречащую здравому смыслу.

 

 

10. Парадокс воронов

Карл Густав Гемпель / © Wikimedia

 

Проблема также известна, как парадокс Гемпеля — второе название она получила в честь немецкого математика Карла Густава Гемпеля, автора её классического варианта. Проблема формулируется довольно просто: каждый ворон имеет чёрный цвет. Из этого следует, что всё, что не чёрного цвета, не может быть вороном. Этот закон называется логическая контрапозиция, то есть если некая посылка «А» имеет следствие «Б», то отрицание «Б» равнозначно отрицанию «А». Если человек видит чёрного ворона, это укрепляет его уверенность, что все вороны имеют чёрный окрас, что вполне логично, однако в соответствии с контрапозицией и принципом индукции, закономерно утверждать, что наблюдение предметов не чёрного цвета (скажем, красных яблок) также доказывает, что все вороны окрашены в чёрный цвет. Иными словами — то, что человек живёт в Санкт-Петербурге доказывает, что он живёт не в Москве.

С точки зрения логики парадокс выглядит безукоризненно, однако он противоречит реальной жизни — красные яблоки никоим образом не могут подтверждать тот факт, что все вороны чёрного цвета.

 

источник

 

Вот у нас уже с вами была подборка парадоксов — … и гений парадоксов друг !, а так же в частности Парадокс :муравей на резиновом тросе , Парадокс Монти Холла и Парадокс колеса

Оригинал статьи находится на сайте ИнфоГлаз.рф Ссылка на статью, с которой сделана эта копия — http://infoglaz.ru/?p=53977

2. Парадокс. Понятие, примеры. Логика: конспект лекций

2. Парадокс. Понятие, примеры

Переходя к вопросу о парадоксах, нельзя не сказать о соотношении их с софизмами. Дело в том, что четкой грани, по которой можно понять, с чем приходится иметь дело, иногда нет.

Впрочем, парадоксы рассматриваются со значительно более серьезным подходом, в то время как софизмы играют зачастую роль шутки, не более. Это связано с природой теории и науки: если она содержит парадоксы, значит, имеет место несовершенство основополагающих идей.

Сказанное может означать, что современный подход к софизмам не охватывает всего объема проблемы. Многие парадоксы толкуются как софизмы, хотя не теряют своих первоначальных свойств.

Парадоксом можно назвать рассуждение, которое доказывает не только истинность, но и ложность некоторого суждения, т. е. доказывающее как само суждение, так и его отрицание. Другими словами, парадокс — это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы.

Один из первых и, безусловно, образцовых парадоксов был записан Эвбулидом — греческим поэтом и философом, критянином. Парадокс носит название «Лжец». До нас этот парадокс дошел в таком виде: «Эпименид утверждает, что все критяне — лжецы. Если он говорит правду, то он лжет. Лжет ли он или же говорит правду?». Этот парадокс именуется «королем логических парадоксов». Разрешить его до настоящего времени не удалось никому. Суть этого парадокса состоит в том, что когда человек говорит: «Я лгу», он не лжет и не говорит правду, а, точнее, делает одновременно и то и это. Другими словами, если предположить, что человек говорит правду, выходит, что он на самом деле лжет, а если он лжет, значит, раньше он сказал правду об этом. Здесь утверждаются оба противоречащих факта. Само собой, по закону исключенного третьего это невозможно, однако именно поэтому данный парадокс и получил столь высокий «титул».

В развитие теории пространства и времени большой вклад внесли жители города Элея, элеаты. Они опирались на идею о невозможности небытия, которая принадлежит Пармениду. Всякая мысль согласно этой идее есть мысль о существующем. При этом отрицалось любое движение: мировое пространство считалось целостным, мир единым, без частей.

Древнегреческий философ Зенон Элейский известен тем, что составил серию парадоксов о бесконечности — так называемые апории Зенона.

Зенон, ученик Парменида, развивал эти идеи, за что был назван Аристотелем «родоначальником диалектики». Под диалектикой понималось искусство достигать истины в споре, выявляя противоречия в суждении противника и уничтожая их.

Далее представлены непосредственно апории Зенона.

«Ахиллес и черепаха» представляет собой апорию о движении. Как известно, Ахиллес — это древнегреческий герой. Он обладал недюжинными способностями в спорте. Черепаха очень медлительное животное. Однако в апории Ахиллес проигрывает черепахе состязание в беге. Допустим, Ахиллесу нужно пробежать расстояние, равное 1, а бежит он в два раза быстрее черепахи, последней нужно пробежать 1/2. Движение их начинается одновременно. Получается, что, пробежав расстояние 1/2, Ахиллес обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок 1/4. Сколько бы ни пытался Ахиллес обогнать черепаху, она будет находиться впереди ровно на 1/2. Поэтому Ахиллесу не суждено догнать черепаху, это движение вечно, его нельзя завершить.

Невозможность завершить эту последовательность заключается в том, что в ней отсутствует последний элемент. Всякий раз, указав очередной член последовательности, мы можем продолжить указанием следующего.

Парадоксальность здесь заключается в том, что бесконечная последовательность следующих друг за другом событий на самом деле все-таки должна завершиться, хотя бы мы и не могли себе представить этого завершения.

Другая апория носит название «дихотомия». Рассуждение построено на тех же принципах, что и предыдущее. Для того чтобы пройти весь путь, необходимо пройти половину пути. В этом случае половина пути становится путем, и чтобы его пройти, необходимо отмерить половину (т. е. уже половину половины). Так продолжается до бесконечности.

Здесь порядок следования по сравнению с предыдущей апорией перевернут, т. е. (1/2)n…, (1/2)3, (1/2)2, (1/2)1. Ряд тут не имеет первой точки, тогда как апория «Ахиллес и черепаха» не имела последней.

Из этой апории делается вывод, что движение не может начаться. Исходя из рассмотренных апорий движение не может закончиться и не может начаться. Значит, его нет.

Опровержение апории «Ахиллес и черепаха».

Как и в апории, в опровержении ее фигурирует Ахиллес, но не одна, а две черепахи. Одна из них находится ближе другой. Движение также начинается одновременно. Ахиллес бежит последним. За то время, как Ахилл пробежит разделяющее их вначале расстояние, ближняя черепаха успеет уползти несколько вперед, что будет продолжаться до бесконечности. Ахиллес будет все ближе и ближе к черепахе, но никогда не сможет ее догнать. Несмотря на явную ложность, логического опровержения такому утверждению нет. Однако если Ахиллес станет догонять дальнюю черепаху, не обращая внимания на ближнюю, он, согласно этой же апории, сумеет вплотную приблизиться к ней. А раз так, то он обгонит ближнюю черепаху.

Это приводит к логическому противоречию.

Для опровержения опровержения, т. е. защиты апории, что само по себе странно, предлагают откинуть груз образных представлений. И выявить формальную суть дела. Здесь следует сказать, что сама апория основывается на образных представлениях и откинуть их — значит опровергнуть и ее. А опровержение достаточно формально. То, что вместо одной в опровержении взято две черепахи, не делает его более образным, нежели апорию. Вообще же сложно говорить о понятиях, не основанных на образных представлениях. Даже такие высшей абстракции философские понятия, как бытие, сознание и другие, понимаются только благодаря образам, соответствующим им. Без образа, стоящего за словом, последнее оставалось бы лишь набором символов и звуков.

Стадий подразумевает существование неделимых отрезков в пространстве и движение в нем объектов. Эта апория основана на предыдущих. Берется один недвижимый ряд объектов и два двигающихся по направлению друг к другу. При этом каждый двигающийся ряд по отношению к недвижимому проходит за единицу времени лишь один отрезок. Однако по отношению к движущемуся — два. Что признается противоречивым. Также говорится, что в промежуточном положении (когда один ряд уже как бы сдвинулся, другой нет) нет места для неподвижного ряда. Промежуточное положение происходит из того, что отрезки неделимы и движение, хотя бы и начатое одновременно, должно пройти промежуточный этап, когда первое значение одного движущегося ряда совпадает со вторым значением второго (движение при условии неделимости отрезков лишено плавности). Состояние же покоя — когда вторые значения всех рядов совпадают. Неподвижный ряд, если предположить одновременность движения рядов, должен в промежуточном положении находиться между движущимися рядами, а это невозможно, так как отрезки неделимы.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Читать книгу целиком

Поделитесь на страничке

Софизмы. Понятие, примеры. Логические парадоксы. Понятие, примеры -Логика

Софизмы. Понятие, примеры. Логические парадоксы. Понятие, примеры. — Текст : электронный // Myfilology.ru – информационный филологический ресурс : [сайт]. – URL: https://myfilology.ru//169/sofizmy-ponyatie-primery-logicheskie-paradoksy-ponyatie-primery/ (дата обращения: 26.08.2020)

Софизмы. Понятие, примеры

Раскрывая данный вопрос, необходимо сказать, что любой софизм является ошибкой. В логике выделяют также паралогизмы. Отличие этих двух видов ошибок состоит в том, что первая (софизм) допущена умышленно, вторая же (паралогизм) – случайно. Паралогизмами изобилует речь многих людей. Умозаключения, даже, казалось бы, правильно построенные, в конце искажаются, образуя следствие, не соответствующее действительности. Паралогизмы, несмотря на то что допускаются неумышленно, все же часто используются в своих целях. Можно назвать это подгонкой под результат. Не осознавая, что делает ошибку, человек в таком случае выводит следствие, которое соответствует его мнению, и отбрасывает все остальные версии, не рассматривая их. Принятое следствие считается истинным и никак не проверяется. Последующие аргументы также искажаются для того, чтобы больше соответствовать выдвинутому тезису. При этом, как уже было сказано выше, сам человек не сознает, что делает логическую ошибку, считает себя правым (более того, сильнее подкованным в логике).

В отличие от логической ошибки, возникающей непроизвольно и являющейся следствием невысокой логической культуры, софизм является преднамеренным нарушением логических правил. Обычно он тщательно маскируется под истинное суждение.

Допущенные умышленно, софизмы преследуют цель победить в споре любой ценой. Софизм призван сбить оппонента с его линии размышлений, запутать, втянуть в разбор ошибки, которые не относятся к рассматриваемому предмету. С этой точки зрения софизм выступает как неэтичный способ (и при этом заведомо неправильный) ведения дискуссии.

Существует множество софизмов, созданных еще в древности и сохранившихся до сегодняшнего дня. Заключение большей части из них носит курьезный характер. Например, софизм «вор» выглядит так: «Вор не желает приобрести ничего дурного; приобретение хорошего есть дело хорошее; следовательно, вор желает хорошего». Странно звучит и следующее утверждение: «Лекарство, принимаемое больным, есть добро; чем больше делать добра, тем лучше; значит, лекарство нужно принимать в больших дозах». Существуют и другие известные софизмы, например: «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит», «Сократ – человек; человек – не то же самое, что Сократ; значит, Сократ – это нечто иное, чем Сократ», «Эти кутята твои, пес, отец их, тоже твой, и мать их, собака, тоже твоя. Значит, эти кутята твои братья и сестры, пес и сука – твои отец и мать, а сам ты собака».

Такие софизмы нередко использовались для того, чтобы ввести оппонента в заблуждение. Без такого оружия в руках, как логика, соперникам софистов в споре было нечего противопоставить, хотя зачастую они и понимали ложность софистических умозаключений. Споры в Древнем мире зачастую заканчивались драками.

При всем отрицательном значении софизмов они имели обратную и гораздо более интересную сторону. Так, именно софизмы стали причиной возникновения первых зачатков логики. Очень часто они ставят в неявной форме проблему доказательства. Именно с софизмов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения. Поэтому можно говорить о положительном действии софизмов, т. е. о том, что они непосредственно содействовали возникновению особой науки о правильном, доказательном мышлении.

Известен также целый ряд математических софизмов. Для их получения числовые значения тасуются таким образом, чтобы из двух разных чисел получить одно. Например, утверждение, что 2 х 2 = 5, доказывается следующим образом: по очереди 4 делится на 4, а 5 на 5. Получается результат (1:1) = (1:1). Следовательно, четыре равно пяти. Таким образом, 2 х 2 = 5. Такая ошибка разрешается достаточно легко – нужно лишь произвести вычитание одного из другого, что выявит неравенство двух этих числовых значений. Также опровержение возможно записью через дробь.

Как раньше, так и теперь софизмы используются для обмана. Приведенные выше примеры достаточно просты, легко заметить их ложность и не обладая высокой логической культурой. Однако существуют софизмы завуалированные, замаскированные так, что отличить их от истинных суждений бывает очень проблематично. Это делает их удобным средством обмана в руках подкованных в логическом плане мошенников.

Вот еще несколько примеров софизмов: «Для того чтобы видеть, нет необходимости иметь глаза, так как без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет, поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения» и «Что ты не терял, то имеешь; рога ты не терял, значит, у тебя рога». Последний софизм является одним из самых известных и часто приводится в качестве примера.

Можно сказать, что софизмы вызываются недостаточной самокритичностью ума, когда человек хочет понять пока недоступное, не поддающееся на данном уровне развития знание.

Бывает и так, что софизм возникает как защитная реакция при превосходящем противнике, в силу неосведомленности, невежества, когда спорящий не проявляет упорство, не желая сдавать позиций. Можно говорить о том, что софизм мешает ведению спора, однако такую помеху не стоит относить к значительным. При должном умении софизм легко опровергается, хотя при этом и происходит отход от темы рассуждения: приходится говорить о правилах и принципах логики.

Парадокс. Понятие, примеры

Переходя к вопросу о парадоксах, нельзя не сказать о соотношении их с софизмами. Дело в том, что четкой грани, по которой можно понять, с чем приходится иметь дело, иногда нет.

Впрочем, парадоксы рассматриваются со значительно более серьезным подходом, в то время как софизмы играют зачастую роль шутки, не более. Это связано с природой теории и науки: если она содержит парадоксы, значит, имеет место несовершенство основополагающих идей.

Сказанное может означать, что современный подход к софизмам не охватывает всего объема проблемы. Многие парадоксы толкуются как софизмы, хотя не теряют своих первоначальных свойств.

Парадоксом можно назвать рассуждение, которое доказывает не только истинность, но и ложность некоторого суждения, т. е. доказывающее как само суждение, так и его отрицание. Другими словами, парадокс – это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы.

Один из первых и, безусловно, образцовых парадоксов был записан Эвбулидом – греческим поэтом и философом, критянином. Парадокс носит название «Лжец». До нас этот парадокс дошел в таком виде: «Эпименид утверждает, что все критяне – лжецы. Если он говорит правду, то он лжет. Лжет ли он или же говорит правду?». Этот парадокс именуется «королем логических парадоксов». Разрешить его до настоящего времени не удалось никому. Суть этого парадокса состоит в том, что когда человек говорит: «Я лгу», он не лжет и не говорит правду, а, точнее, делает одновременно и то и это. Другими словами, если предположить, что человек говорит правду, выходит, что он на самом деле лжет, а если он лжет, значит, раньше он сказал правду об этом. Здесь утверждаются оба противоречащих факта. Само собой, по закону исключенного третьего это невозможно, однако именно поэтому данный парадокс и получил столь высокий «титул».

В развитие теории пространства и времени большой вклад внесли жители города Элея, элеаты. Они опирались на идею о невозможности небытия, которая принадлежит Пармениду. Всякая мысль согласно этой идее есть мысль о существующем. При этом отрицалось любое движение: мировое пространство считалось целостным, мир единым, без частей.

Древнегреческий философ Зенон Элейский известен тем, что составил серию парадоксов о бесконечности – так называемые апории Зенона.

Зенон, ученик Парменида, развивал эти идеи, за что был назван Аристотелем «родоначальником диалектики». Под диалектикой понималось искусство достигать истины в споре, выявляя противоречия в суждении противника и уничтожая их.

Далее представлены непосредственно апории Зенона.

«Ахиллес и черепаха» представляет собой апорию о движении. Как известно, Ахиллес – это древнегреческий герой. Он обладал недюжинными способностями в спорте. Черепаха очень медлительное животное. Однако в апории Ахиллес проигрывает черепахе состязание в беге. Допустим, Ахиллесу нужно пробежать расстояние, равное 1, а бежит он в два раза быстрее черепахи, последней нужно пробежать 1/2. Движение их начинается одновременно. Получается, что, пробежав расстояние 1/2, Ахиллес обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок 1/4. Сколько бы ни пытался Ахиллес обогнать черепаху, она будет находиться впереди ровно на 1/2. Поэтому Ахиллесу не суждено догнать черепаху, это движение вечно, его нельзя завершить.

Невозможность завершить эту последовательность заключается в том, что в ней отсутствует последний элемент. Всякий раз, указав очередной член последовательности, мы можем продолжить указанием следующего.

Парадоксальность здесь заключается в том, что бесконечная последовательность следующих друг за другом событий на самом деле все-таки должна завершиться, хотя бы мы и не могли себе представить этого завершения.

Другая апория носит название «дихотомия». Рассуждение построено на тех же принципах, что и предыдущее. Для того чтобы пройти весь путь, необходимо пройти половину пути. В этом случае половина пути становится путем, и чтобы его пройти, необходимо отмерить половину (т. е. уже половину половины). Так продолжается до бесконечности.

Здесь порядок следования по сравнению с предыдущей апорией перевернут, т. е. (1/2)n…, (1/2)3, (1/2)2, (1/2)1. Ряд тут не имеет первой точки, тогда как апория «Ахиллес и черепаха» не имела последней.

Из этой апории делается вывод, что движение не может начаться. Исходя из рассмотренных апорий движение не может закончиться и не может начаться. Значит, его нет.

Опровержение апории «Ахиллес и черепаха».

Как и в апории, в опровержении ее фигурирует Ахиллес, но не одна, а две черепахи. Одна из них находится ближе другой. Движение также начинается одновременно. Ахиллес бежит последним. За то время, как Ахилл пробежит разделяющее их вначале расстояние, ближняя черепаха успеет уползти несколько вперед, что будет продолжаться до бесконечности. Ахиллес будет все ближе и ближе к черепахе, но никогда не сможет ее догнать. Несмотря на явную ложность, логического опровержения такому утверждению нет. Однако если Ахиллес станет догонять дальнюю черепаху, не обращая внимания на ближнюю, он, согласно этой же апории, сумеет вплотную приблизиться к ней. А раз так, то он обгонит ближнюю черепаху.

Это приводит к логическому противоречию.

Для опровержения опровержения, т. е. защиты апории, что само по себе странно, предлагают откинуть груз образных представлений. И выявить формальную суть дела. Здесь следует сказать, что сама апория основывается на образных представлениях и откинуть их – значит опровергнуть и ее. А опровержение достаточно формально. То, что вместо одной в опровержении взято две черепахи, не делает его более образным, нежели апорию. Вообще же сложно говорить о понятиях, не основанных на образных представлениях. Даже такие высшей абстракции философские понятия, как бытие, сознание и другие, понимаются только благодаря образам, соответствующим им. Без образа, стоящего за словом, последнее оставалось бы лишь набором символов и звуков.

Стадий подразумевает существование неделимых отрезков в пространстве и движение в нем объектов. Эта апория основана на предыдущих. Берется один недвижимый ряд объектов и два двигающихся по направлению друг к другу. При этом каждый двигающийся ряд по отношению к недвижимому проходит за единицу времени лишь один отрезок. Однако по отношению к движущемуся – два. Что признается противоречивым. Также говорится, что в промежуточном положении (когда один ряд уже как бы сдвинулся, другой нет) нет места для неподвижного ряда. Промежуточное положение происходит из того, что отрезки неделимы и движение, хотя бы и начатое одновременно, должно пройти промежуточный этап, когда первое значение одного движущегося ряда совпадает со вторым значением второго (движение при условии неделимости отрезков лишено плавности). Состояние же покоя – когда вторые значения всех рядов совпадают. Неподвижный ряд, если предположить одновременность движения рядов, должен в промежуточном положении находиться между движущимися рядами, а это невозможно, так как отрезки неделимы.

02.09.2016, 11281 просмотр.

Логические тупики (Парадоксы) — Студопедия

От софизмов следует отличать логические парадоксы (от греч. paradoxes – «неожиданный, странный»). Парадокс в широком смысле слова – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом. Логический парадокс – это такая необычная и удивительная ситуация, когда два противоречащих суждения не только являются одновременно истинными (что невозможно в силу логических законов противоречия и исключенного третьего), но еще и вытекают друг из друга, друг друга обуславливают. Если софизм – это всегда какая-либо уловка, преднамеренная логическая ошибка, которую можно обнаружить, разоблачить и устранить, то парадокс представляет собой неразрешимую ситуацию, своего рода мыслительный тупик, «камень преткновения» в логике: за всю ее историю было предложено множество разнообразных способов преодоления и устранения парадоксов, однако ни один из них до сих пор не является исчерпывающим, окончательным и общепризнанным.

Наиболее известный логический парадокс – это парадокс «лжеца». Часто его называют «королем логических парадоксов». Он был открыт еще в Древней Греции. По преданию, философ Диодор Кронос дал обет не принимать пищи до тех пор, пока не разрешит этот парадокс и умер от голода, так ничего и не добившись; а другой мыслитель – Филет Косский впал в отчаяние от невозможности найти решение парадокса «лжеца» и покончил с собой, бросившись со скалы в море. Существует несколько различных формулировок данного парадокса. Наиболее коротко и просто он формулируется в ситуации, когда человек произносит простую фразу: Я лжец. Анализ этого элементарного и бесхитростного на первый взгляд высказывания приводит к ошеломляющему результату. Как известно, любое высказывание (в том числе и вышеприведенное) может быть истинным или ложным. Рассмотрим последовательно оба случая, в первом из которых это высказывание является истинным, а во втором – ложным.



Допустим, что фраза Я лжец истинна, т. е. человек, который произнес ее, сказал правду, но в этом случае он действительно лжец, следовательно, произнеся данную фразу, он солгал. Теперь предположим, что фраза Я лжец ложна, т. е. человек, который произнес ее, солгал, но в этом случае он не лжец, а правдолюб, следовательно, произнеся данную фразу, он сказал правду. Получается нечто удивительное и даже невозможное: если человек сказал правду, то он солгал; а если он солгал, то он сказал правду (два противоречащих суждения не только одновременно истинны, но и вытекают друг из друга).


Другой известный логический парадокс, обнаруженный в начале XX века английским логиком и философом

Бертраном Расселом, – это парадокс «деревенского парикмахера». Представим себе, что в некой деревне есть только один парикмахер, бреющий тех ее жителей, которые не бреются сами. Анализ этой незамысловатой ситуации приводит к необыкновенному выводу. Зададимся вопросом: может ли деревенский парикмахер брить самого себя? Рассмотрим оба варианта, в первом из которых он сам себя бреет, а во втором – не бреет.

Допустим, что деревенский парикмахер сам себя бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые бреются сами и которых не бреет парикмахер, следовательно, в этом случае, он сам себя не бреет. Теперь предположим, что деревенский парикмахер сам себя не бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые не бреются сами и которых бреет парикмахер, следовательно, в этом случае он сам себя бреет. Как видим, получается невероятное: если деревенский парикмахер сам себя бреет, то он сам себя не бреет; а если он сам себя не бреет, то он сам себя бреет (два противоречащих суждения являются одновременно истинными и взаимообуславливают друг друга).

Парадоксы «лжеца» и «деревенского парикмахера» вместе с другими подобными им парадоксами также называют антиномиями (от греч. antinomia – «противоречие в законе»), т. е. рассуждениями, в которых доказывается, что два высказывания, отрицающие друг друга, вытекают одно из другого. Считается, что антиномии представляют собой наиболее крайнюю форму парадоксов. Однако довольно часто термины «логический парадокс» и «антиномия» рассматриваются как синонимы.

Менее удивительную формулировку, но не меньшую известность, чем парадоксы «лжеца» и «деревенского парикмахера», имеет парадокс «Протагор и Эватл», появившийся, как и «лжец», еще в Древней Греции. В его основе лежит незатейливая на первый взгляд история, которая заключается в том, что у софиста Протагора был ученик Эватл, бравший у него уроки логики и риторики

(в данном случае – политического и судебного красноречия). Учитель и ученик договорились, что Эватл заплатит Протагору гонорар за обучение только в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Однако по завершении обучения Эватл не стал участвовать ни в одном процессе и денег учителю, разумеется, не платил. Протагор пригрозил ему, что подаст на него в суд и тогда Эватлу в любом случае придется заплатить. «Тебя или присудят к уплате гонорара, или не присудят, – сказал ему Протагор, – если тебя присудят к уплате, ты должен будешь заплатить по приговору суда; если же тебя не присудят к уплате, то ты, как выигравший свой первый судебный процесс, должен будешь заплатить по нашему уговору». На это Эватл ему ответил: «Все правильно: меня или присудят к уплате гонорара, или не присудят; если меня присудят к уплате, то я, как проигравший свой первый судебный процесс, не заплачу по нашему уговору; если же меня не присудят к уплате, то я не заплачу по приговору суда». Таким образом, вопрос о том, должен Эватл заплатить Протагору гонорар или нет, является неразрешимым. Договор учителя и ученика, несмотря на его вполне невинный внешний вид, является внутренне, или логически, противоречивым, так как он требует выполнения невозможного действия: Эватл должен и заплатить за обучение, и не заплатить одновременно. В силу этого сам договор между Протагором и Эватлом, а также вопрос об их тяжбе представляет собой не что иное, как логический парадокс.

Отдельной группой парадоксов являются апории (от греч. aporia – «затруднение, недоумение») – рассуждения, которые показывают противоречия между тем, что мы воспринимаем органами чувств (видим, слышим, осязаем и т. п.), и тем, что можно мысленно проанализировать (проще говоря – противоречия между видимым и мыслимым). Наиболее известные апории выдвинул древнегреческий философ Зенон Элейский, который утверждал, что движение, наблюдаемое нами повсюду, невозможно сделать предметом мысленного анализа, т. е. движение можно видеть, но нельзя мыслить. Одна из его апорий называется «Дихотомия» (греч. dihotomia – «деление пополам»). Допустим, некоему телу надо пройти из пункта А в пункт В. Нет никакого сомнения в том, что мы можем увидеть, как тело, покинув один пункт, через какое-то время достигнет другого. Однако давайте не будем доверять своим глазам, которые говорят нам о том, что тело движется, и попытаемся воспринять движение не глазами, а мыслью, постараемся не увидеть его, а помыслить. В этом случае у нас получится следующее. Прежде чем пройти весь свой путь из пункта А в пункт В, телу надо пройти половину этого пути, ведь если оно не пройдет половину пути, то, конечно же, не пройдет и весь путь. Но прежде чем тело пройдет половину пути, ему надо пройти 1/4 часть пути. Однако до того, как оно пройдет эту 1/4 часть пути, ему надо пройти 1/8 часть пути; а еще раньше ему требуется пройти 1/16 часть пути, а перед этим – 1/32 часть, а прежде того – 1/64 часть, а до этого – 1/128 часть и так до бесконечности. Значит, чтобы пройти из пункта A в пункт В, телу надо пройти бесконечное количество отрезков этого пути. Возможно ли пройти бесконечность? Невозможно! Следовательно, тело никогда не сможет пройти свой путь. Таким образом, глаза свидетельствуют, что путь будет пройден, а мысль, наоборот, отрицает это (видимое противоречит мыслимому).

Другая известная апория Зенона Элейского – «Ахиллес и черепаха» – говорит о том, что мы вполне можем увидеть, как быстроногий Ахиллес догоняет и перегоняет медленно ползущую впереди него черепаху; однако мысленный анализ приводит нас к необычному заключению, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, хотя он и движется в 10 раз быстрее нее. Когда он преодолеет расстояние до черепахи, то она за это же время (ведь она тоже движется) пройдет в 10 раз меньше (так как движется в 10 раз медленнее), а именно 1/10 часть того пути, который прошел Ахиллес, и на эту 1/10 часть будет впереди него.

Когда Ахиллес пройдет эту 1/10 часть пути, то черепаха за это же время пройдет в 10 раз меньшее расстояние, т. е. 1/100 часть пути и на эту 1/100 часть будет впереди Ахиллеса. Когда он пройдет 1/100 часть пути, разделяющую его и черепаху, то она за это же время пройдет 1/1000 часть пути, все равно оставаясь впереди Ахиллеса, и так до бесконечности. Итак, мы вновь убеждаемся в том, что глаза говорят нам об одном, а мысль – о совершенно другом (видимое отрицается мыслимым).

Еще одна апория Зенона – «Стрела» – предлагает нам мысленно рассмотреть полет стрелы из одной точки пространства в другую. Наши глаза, конечно же, говорят о том, что стрела летит, или движется. Однако что будет, если мы попытаемся, отвлекаясь от зрительного впечатления, помыслить ее полет? Для этого зададим себе простой вопрос: где сейчас находится летящая стрела? Если, отвечая на данный вопрос, мы скажем, например, Она сейчас здесь, или Она сейчас тут, или Она сейчас там, то все эти ответы будут означать не полет стрелы, а как раз ее неподвижность, ведь находиться здесь, или тут, или там – означает именно покоиться, а не двигаться. Как же нам ответить на вопрос – где сейчас находится летящая стрела – таким образом, чтобы в ответе отразился ее полет, а не неподвижность? Единственно возможный в данном случае ответ должен быть таким: Она сейчас везде и нигде. Но разве возможно быть везде и нигде одновременно? Итак, при попытке помыслить полет стрелы мы натолкнулись на логическое противоречие, на нелепость – стрела находится везде и нигде. Получается, что движение стрелы вполне можно увидеть, но его нельзя помыслить, вследствие чего оно невозможно, как и любое движение вообще. Иначе говоря, двигаться, с точки зрения мысли, а не чувственных восприятий, означает – быть в некоем месте и не быть в нем одновременно, что, конечно же, невозможно.

В своих апориях Зенон столкнул на «очной ставке» данные органов чувств (говорящих о множественности, делимости и движении всего существующего, уверяющих нас, что быстроногий Ахиллес догонит медлительную черепаху, а стрела долетит до цели) и умозрение (которое не может помыслить движение или множественность объектов мира, не впадая при этом в противоречие).

Однажды, когда Зенон доказывал при стечении народа немыслимость и невозможность движения, среди его слушателей оказался не менее известный в Древней Греции философ Диоген Синопский. Ничего не говоря, он встал и начал расхаживать, полагая, что этим он лучше всяких слов доказывает реальность движения. Однако Зенон не растерялся и ответил: «Ты не ходи и руками-то не маши, а попробуй разумом разрешить сию сложную проблему». По поводу этой ситуации есть даже следующее стихотворение А. С. Пушкина:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый,

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами Солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей.

И действительно, видим же мы совершенно отчетливо, что Солнце движется по небу каждый день с востока на запад, а на самом-то деле оно неподвижно (по отношению к Земле). Так почему бы нам не предположить, что и другие объекты, которые мы видим движущимися, на самом деле могут быть неподвижными, и не спешить с утверждением о том, что элейский мыслитель был неправ?

Как уже отмечалось, в логике было создано много способов разрешения и преодоления парадоксов. Однако ни один из них не лишен возражений и не является общепризнанным. Рассмотрение этих способов – долгая и утомительная теоретическая процедура, которая остается в данном случае за пределами нашего внимания. Любознательный читатель сможет познакомиться с разнообразными подходами к решению проблемы логических парадоксов по дополнительной литературе. Логические парадоксы представляют собой свидетельство в пользу того, что логика, как, впрочем, и любая другая наука, является не завершенной, а постоянно развивающейся. По всей видимости, парадоксы указывают на какие-то глубокие проблемы логической теории, приоткрывают завесу над чем-то еще не вполне известным и понятным, намечают новые горизонты в развитии логики.

ПАРАДОКС ЛОГИЧЕСКИЙ — Новая философская энциклопедия

ПАРАДОКС ЛОГИЧЕСКИЙ – рассуждение либо высказывание, в котором, пользуясь средствами, не выходящими (по видимости) за рамки логики, и посылками, которые кажутся заведомо приемлемыми, приходят к заведомо неприемлемому результату. Ввиду того, что парадоксы обнажают скрытые концептуальные противоречия и переводят их в прямые и открытые, они, согласно законам творческого мышления, помогают при развитии новых идей и концепций. Английский логик Рамсей предложил отличать логические парадоксы от парадоксов семантических [ПАРАДОКСЫ СЕМАНТИЧЕСКИЕ], основанных не только на логике, но и на конкретной интерпретации понятий. Многие (причем самые принципиальные) парадоксы находятся на стыке данных двух групп. Таковы, напр., известный с эпохи античности парадокс «Лжец» или не менее известный парадокс Рассела: «пусть R – множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, т.е. R = {x| х ∉ х}. Тогда R ∈ R означает, что R ∈ {х| х ∉ х}, а это означает, что R ∉ R.Т.о., R ∈ R эквивалентно R ∉ R».

Критический шаг логического рассуждения, применяющегося в знаменитом парадоксе Кантора о множестве всех множеств, имеет ту же логическую форму.

Более тонко выявлена крайняя опасность автореференции (предложений, ссылающихся на самих себя) в парадоксе Карри, выявляющем глубинные логические корни, в частности парадоксов лжеца и Рассела. «Пусть A – произвольное высказывание. Пусть B – высказывание «Если B, то A». Допустим B. Тогда B = A. Значит, из B следует A в силу правила дедукции, и B доказано без всяких допущений. Но тогда доказано и A».

Т.о., Карри показал, что обычная импликация в любой системе с автореференцией позволяет вывести любое предложение, что является грубой формой противоречия (противоречивость по Карри.)

Теорема Гёделя [ГЕДЕЛЬ] о неполноте доказывается при помощи построения, по сути дела являющегося одним из парадоксов автореференции. А именно, строится формула, утверждающая свою собственную недоказуемость. Она не может быть доказана, потому что тогда мы получили бы прямое противоречие, она не может быть и опровергнута, потому что тогда мы получили бы доказательство ее недоказуемости и, следовательно, ее обоснование.

Новый класс логических парадоксов, также лежащий на грани с семантическими, поскольку используется понятие определимости [ОПРЕДЕЛИМОСТЬ], был открыт Берри, который ввел в рассмотрение сложность объекта.

Предложений, содержащих менее ста букв, конечное число. Поэтому с их помощью можно определить лишь конечное число натуральных чисел. Поэтому есть наименьшее число n0, не определимое таким способом. Но тогда фраза «Наименьшее число, не определимое при помощи предложения, содержащего менее ста символов» содержит менее ста символов и определяет n0.

Конструкция парадокса Берри интенсивно используется в современной теории сложности вычислений для доказательства трудности решения задач. Она практически сводится к общенаучному принципу, что система может быть полностью познана лишь системой, на порядок более сложной.

Примером нерефлексивного логического парадокса является следующий парадокс:

«Необходимо, что 9 больше 7. Число больших планет – 9. Значит, необходимо, что число больших планет больше семи». Данный парадокс также лежит на грани между семантическими и логическими. Конструкция данного парадокса использована в доказательстве теоремы Райса о неразрешимости нетривиальных свойств вычислимых функций (единственные свойства вычислимых функций, которые могут определяться программой – тождественно истинное и тождественно ложное) и теоремы о невозможности нетривиальных точных предсказателей, т.е. оракулы, которые не ошибаются, говорят либо только одну истину, либо одну ложь. Этот парадокс сыграл громадную стимулирующую роль при разработке тонких вопросов модальной логики с равенством. Ту же логическую структуру при формализации приобретает и известный парадокс утренней звезды, относящийся к семантическим.

Как логические парадоксы часто трактуются законы материальной импликации – «из лжи следует все, что угодно», и «истина следует из всего, что угодно», поскольку они позволяют получить формулы A ⇒ B, в которых A и B никак не связаны по смыслу.

Далее, отметим парадокс логического всеведения:

Если мы знаем A и A ⇒ B, то мы знаем В.Следовательно, мы знаем все следствия наших знаний, и в частности все логические тавтологии, что невозможно, поскольку их множество бесконечно (а для языка логики предикатов даже неразрешимо).

Эти аномалии явились стимулом для развития модальных, паранепротиворечивых, эпистемических и релевантных логик, в которых данные парадоксы частично преодолеваются. На самом деле полностью преодолеть их невозможно, поскольку любая успешная формализация является сильным огрублением.

Еще один класс парадоксов, возникающих на границе логики и математики, основан на применении точных методов к неточным понятиям.

«Человек, у которого на голове нет ни одного волоса – лыс. Если у лысого вырастет еще один волосок, он останется лысым. Значит, все люди лысые».

Рассуждение, примененное в данном парадоксе (опять-таки восходящее к античности), интенсивно используется при развитии ультраинтуиционистской математики, имеющей дело с процессами, завершимыми в реальное время. Оно отграничивает реально осуществимые объекты от потенциально осуществимых, и тем самым «шуточный» парадокс приобретает глубокий математический смысл.

Развитие современных логических методов привело к новым логическим парадоксам. Напр., Брауэр указал на следующий парадокс классического существования: в любой достаточно сильной классической теории имеется доказуемая формула вида ∃хA(х), для которой нельзя построить никакого конкретного t, такого, что доказуемо A(t).

В частности, нельзя построить в теории множеств ни одной нестандартной модели действительных чисел, хотя можно доказать существование таких моделей. Этот парадокс показывает, что понятия существования и возможности построения необратимо расходятся в классической математике.

Далее, нестандартные модели, которые потребовали явного различения языка и метаязыка, привели к следующему парадоксу: «Множество всех стандартных действительных чисел является частью нестандартного конечного множества. Т.о., бесконечное может быть частью конечного».

Этот парадокс резко противоречит обыденному пониманию соотношения конечного и бесконечного. Он основан на том, что свойство «быть стандартным» принадлежит метаязыку, но может быть точно интерпретировано в нестандартной модели. Поэтому в нестандартной модели можно говорить об истинности и ложности любых математических утверждений, включающих понятие «быть (не)стандартным», но для них не обязаны сохраняться свойства стандартной модели, за исключением логических тавтологий. Данный парадокс стал основой теории полумножеств, в которой классы могут быть подклассами множеств.

И наконец, последний класс логических парадоксов возникает на границах между формализованными и неформализуемыми понятиями. Рассмотрим один из них (аргумент Саймона): «Все, что может быть выражено точно, может быть выражено на языке машин Тьюринга. Поэтому в гуманитарных науках могут рассматриваться лишь те модели, которые выразимы на языке машин Тьюринга. Более того, согласно методу диагонализации, любое точное возражение против данной точки зрения само переводится на язык машин Тьюринга и включается в нее».

Этот парадокс стимулировал появление теории неформализуемых понятий, но ввиду того, что он не был сразу осознан как парадокс, заодно привел к печальным последствиям, поскольку этот софизм [СОФИЗМ], в котором спутаны принципиальная выразимость (требующая нереальных ресурсов) и реальные описания, был воспринят как точное рассуждение и, как отмечено в трудах по когнитивной науке, парализовал почти на 10 лет западную психологию. Отрицание аргумента Саймона после осознания его софистической природы было построено так, что привело к полному отказу от точных понятий и тем самым по существу послужило мотивом для течений типа постмодернизма. В данном случае была допущена логическая ошибка подмены противоречащего суждения противоположным.

Н.Н.Непейвода


Источник:
Новая философская энциклопедия
на Gufo.me


5 Логических парадоксов, скремблирующих разум

Что вы называете явно противоречивыми утверждениями или проблемами? Что, если они, кажется, доказывают что-то, что интуитивно не кажется правильным? Да, вы угадали, парадоксы. Эти мыслительные эксперименты, часто приводящие в ярость, веками составляли центральный компонент философии. Они часто бросают вызов вашему интуитивному пониманию окружающего мира. Возможно, они полностью перевернут ваши драгоценные «истины» с ног на голову и предложат ситуацию, которая противоречит вашим давним убеждениям.Все хорошо, но каковы главные логические парадоксы мира?

Давайте выясним, помните, что к ним следует относиться как к логическим упражнениям, а не как к возможностям в реальности. Следующий список не в определенном порядке и просто наши фавориты, есть много других примеров:

1. Парадокс неудержимой силы

Давайте начнем с одного из самых известных парадоксов — неудержимой или непреодолимой силы. Это классический пример, в котором задаются уместные вопросы:

«Что происходит, когда непреодолимая сила встречает неподвижный объект?»

Легко, правда? Если что-то остановить, цель должна двигаться.Но подождите, цель неподвижна …. Какого черта? Великий парадокс для мысленного эксперимента, но в конечном итоге академический вопрос. Как мы теперь знаем, никакая сила не является полностью непреодолимой, и никакой объект не является неподвижным. Даже незначительные силы вызывают небольшое ускорение «целевого» объекта или массы при ударе. Чтобы объект был действительно неподвижным, ему потребуется бесконечная масса. Если бы такой подвиг удалось осуществить, объект схлопнулся бы под собственной массой и образовал бы сингулярность. Чтобы произвести непреодолимую силу, вам, конечно же, понадобится бесконечная энергия.Как вы думаете, это возможно? Учитывая «логистические» ограничения, это, тем не менее, интересный парадокс, над которым стоит задуматься.

5 Mind-Scrambling Logical Paradoxes [Источник изображения: Pixabay]

2. Парадокс всемогущества

«Может ли всемогущее существо создать такой тяжелый камень, что даже« он »не сможет его поднять?»

Следующая запись в нашем списке парадоксов выглядит следующим образом. Считайте существо «всемогущим» и игнорирующим законы физики в том виде, в каком мы его знаем. Некоторые могут назвать это Богом, другие — летающим монстром из спагетти.Если бы такое существо существовало, оно достигло бы точки, в которой могло бы создать объект, с которым он / она не смог бы двигаться. Но подождите, существо всемогуще, как это возможно? Если бы это произошло, то по этому определению существо не всемогуще. Этот парадокс означает, что способность всемогущего существа обязательно ограничивает себя. Ответом на это будет то, что способность поднять творение выходит за рамки того, что мы определяем как «всемогущество», поскольку это слово подразумевает безграничные способности субъекта.

5 Mind-Scrambling Logical Paradoxes [Источник изображения: Pixabay ]

3. Парадокс мальчика или девочки

«В семье с двумя детьми, каковы шансы, что один из них будет мальчиком или девочкой?».

В следующей подборке парадоксов рассматривается семья с двумя детьми. Мы знаем, что один из детей — мальчик. Какова же тогда вероятность того, что следующий ребенок тоже будет мальчиком? Интуитивно мы ожидаем, что ответ будет 1/2 или 50%, более или менее. Ребенок может быть мальчиком или девочкой с равными шансами.Однако в семье с двумя детьми на самом деле существует четыре возможных комбинации. Два мальчика (MM), две девочки (FF), старший мальчик и младшая девочка (MF) или старшая девочка и младший мальчик (FM). Мы уже знаем, что один из детей — мальчик, поэтому мы можем исключить вариант FF. Это, однако, оставляет нам три равновозможных комбинации, помните, что нам не сообщается относительный возраст детей. Это MM, MF или FM, поэтому в этом сценарии вероятность составляет 1/3 или 33 процента, а не 1/2.

5 Mind-Scrambling Logical Paradoxes [Источник изображения: Pixabay ]

4.Ахилл и парадокс черепахи

«Может ли Ахиллес когда-нибудь победить черепаху в гонке?»

Зенон Элейский был довольно плодовитым мыслителем. Его знаменитый «Ахиллес и парадокс черепахи» — хороший тому пример. Зенон предлагает устроить гонку между скромной черепахой и легендарным Ахиллом. Ахиллес, будучи щедрым парнем, дает рептилии хорошую фору, скажем, 50 метров. Может ли черепаха победить Ахилла? Мысленный эксперимент предполагает, что для того, чтобы Ахиллес «догнал» черепаху, он должен сначала преодолеть расстояние между ним и черепахой.

Достаточно честно, только когда он преодолевает первые 50 метров, черепаха продвигается немного дальше, скажем, на 2 метра. И снова Ахиллу нужно преодолеть это расстояние, чтобы наверстать упущенное, но черепаха снова продвинулась дальше, скажем, на 0,1 метра. Таким образом, всякий раз, когда Ахилл достигает места, где раньше была черепаха, черепаха всегда впереди, и он никогда не сможет ее догнать. Вы можете продолжить этот процесс до бесконечно малых расстояний до бесконечности . Ясно, что наш опыт реального мира знает, что это не так, что делает этот парадокс большим, над чем стоит задуматься.

Этот парадокс фактически предполагает невозможность пересечь бесконечность. Вы не можете добраться из точки A в точку B в бесконечности, не пересекая бесконечные точки. В математике, в отличие от реальности, это действительно возможная теория. Этот парадокс показывает нам, что, хотя что-то может показаться логичным в математике, на самом деле это не так.

Однако решение все же существует.

Парадокс парикмахера

«Может ли парикмахер побриться?»

В следующем парадоксе рассмотрим город, в котором есть только один парикмахер.Каждый мужчина в городе остается чисто выбритым, кто-то бреется, кто-то пользуется услугами парикмахера. Таким образом, парикмахер должен следовать тем же правилам. Он бреет всех горожан, которые не бреются. Но как он бреется? Поначалу этот вопрос кажется простым, но следование правилам, предложенным в парадоксе, вскоре заставляет нас упираться в стену. Если парикмахер не бреется, он должен соблюдать правила и бриться. С другой стороны, если он бреется, он не может бриться.Какой?

5 Mind-Scrambling Logical Paradoxes [Источник изображения: Adam Franco / Flickr ]

Понятно? Голова еще не болит? Какие твои любимые парадоксы? Может быть, ты сможешь придумать свой, чтобы поделиться со всеми?

Источники: mentalfloss.com, listverse.com

[Источник избранного изображения: Pixabay ]

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: эта хитрая логическая головоломка ставит в тупик массы

.

Логические парадоксы — серьезная наука

Как парадоксы использовались на протяжении всей истории? Как парадоксы повлияли на изучение математики? Как парадоксы бросают вызов знанию и истине? На эти и другие вопросы отвечает историк и философ Стивен Рид.

Один из способов подумать о логических парадоксах, как мне кажется, — это начать с небольшой истории, которую Сервантес рассказывает в своей книге «Дон Кихот». В «Дон Кихоте» есть момент, когда он оставляет Санчо Пансу на посту губернатора Баратарии, и они подшучивают над ним, пока он губернатор.Они будят его рано утром, уводят и говорят: «Перед завтраком ты должен пойти и рассмотреть это дело в суде». И знаете, в Испании сейчас много бродяг, и нужно быть осторожным с людьми. И вот землевладелец, у которого река посреди своей собственности, и есть мост через реку, и, чтобы убедиться, что все честно, он ставит виселицу рядом с мостом и привратник, смотритель моста, который бросает вызов каждому, кто приходит, чтобы сказать, чем они занимаются и куда они направляются.Если они говорят правду, им разрешают перейти мост, но если они лгут, то их повесят на виселице.

И это нормально, он отделяет бродяг от настоящих торговцев, пока однажды кто-то не приходит и не говорит: «Моя цель — умереть на этой виселице и ни на чем другом». И мостовик был немного поражен этим, потому что они думали, что если мы его повесим, он скажет правду, и поэтому мы должны позволить ему пройти через мост, но если мы позволим ему пройти через мост, он солгал, значит, надо было его повесить.«Итак, Санчо Панса, как мы должны судить об этом деле?» Санчо Панса требует времени, чтобы осознать парадокс, но в конце концов он выносит свое решение, которое заключается в том, чтобы повесить ту половину того, кто лгал, и позволить половине того, кто говорил правда переходить мост.

Что ж, в некотором смысле это звучит как трюк для вечеринок, но с точки зрения людей, которые хотят думать об истине, ссылках, языке и так далее, это на самом деле указывает на что-то довольно тревожное в природе языка. Кажется, слишком легко ввязываться в парадокс, мы просто не знаем, было ли это утверждение, которое сказал человек, истинным или ложным, лгал он или нет.И это восходит к первоначальному парадоксу лжеца, который рассказывал Евбулид в 4 веке до нашей эры. Он дошел до изобразительного искусства, он просто сказал: «Подумайте о фразе« Я лгу »». Что ж, если я говорю: «Я лгу», я мог бы иметь в виду какое-то другое высказывание, которое я сделал, но если он действительно осторожен, он сказал бы: «Нет, я просто лгу в этом самом высказывании, которое я сделал». сделано сейчас, это высказывание, которое я делаю сейчас, ложно ». И опять же, если вы подумаете об этом, вы скажете: ну, если это было правдой, тогда, поскольку он говорит, что то, что он говорит, ложно, из этого следует, что это ложно, а не правда, поэтому это не может быть правдой, это должно быть ложным.Но если это ложь, поскольку он сказал, что это ложь, что он лгал, это должно быть правдой, так что парадокс аккуратно заключен в одно высказывание.

Существует целый ряд подобных логических парадоксов, и вы можете понять, почему это называется логическим парадоксом, потому что есть логика в разрешении возникающего противоречия. Некоторые люди слышали об Эпимениде. Эпименид был критянином, и он был очень разочарован своими соотечественниками и их способностью говорить правду, и он сказал: «Все критяне лжецы».Итак, если он был прав в том, что все критяне были лжецами или другие критяне всегда лгали, то его собственное высказывание должно быть парадоксальным, потому что, если он говорит: «Все критяне лжецы», он говорит, что его собственное высказывание, в частности, ложно, но это означает что все критяне были лжецами, и в этом случае он сказал правду, когда сказал, что все критяне были лжецами. Выход, конечно же, в том, что некоторые другие критяне когда-то говорили правду, и то, что он сказал, было бы просто ложью и не парадоксально.

Итак, мы имеем дело с целым рядом парадоксов.Есть довольно приятный парадокс, который мне нравится: здесь есть открытка, и на одной стороне открытки написано: «Предложение на другой стороне этой открытки верно», а вы переворачиваете его, и там написано: «Предложение на другой стороне открытки — фальшивка ». И если вы подумаете об этом, это просто парадоксально, потому что, если предложение с первой стороны истинно, то предложение с другой стороны истинно, потому что оно утверждает, что истинно, но говорит, что оно ложно. Итак, если это правда, это ложь, но это невозможно, значит, это ложь.Но в нем говорится, что предложение с другой стороны ложно, поэтому оно не может быть ложным, поэтому одно предложение с другой стороны должно быть истинным. Но мы увидели, что когда он сказал, что это правда, это было ложью, и поэтому у нас получился изящный парадокс.

Некоторые средневековые мыслители, которые думали об этом, скорее хотели выразить это в терминах Сократа и Платона или иногда Платона и Аристотеля. Итак, Платон был учителем Аристотеля и думал, что Аристотель был его лучшим учеником, поэтому он сказал: «Все, что говорит Аристотель, — правда». Но Аристотель был не очень хорошим учеником в том смысле, в котором он хотел бросить вызов учению Платона, поэтому он сказал: «То, что говорит Платон, ложно», и это очень похоже на парадокс открытки, который вы получаете с парадоксом Платона и Аристотеля.

Итак, у нас есть много парадоксов в этой области, связанной с истиной, ложью и языком, но в 20-м веке мы столкнулись с рядом парадоксов в математике.

Краткая история этого состоит в том, что после изобретения исчисления, а затем в 18 веке, когда дело касалось бесконечных рядов, основы математики считались довольно ненадежными, люди хотели сказать: «Как же эти серии работают так? что они не приводят нас к противоречиям в математике? ».В XIX веке наблюдается большое движение за поиск прочной основы для математики. В то время эта прочная основа была основана на теории множеств. Итак, наборы — это коллекции, в которых вы определяете коллекцию, имея какое-то свойство: вы говорите, давайте возьмем набор всех натуральных чисел или набор четных чисел, или мы можем взять набор рисовых пудингов — много наборов. Для математики, конечно, это должны были быть чистые наборы чисел.

И это очень хорошо выглядело в конце 19 века.Фреге, Дедекинд и ряд других мыслителей создали математику или то, что казалось прочным основанием теории множеств. А затем Бертран Рассел (который был известным британским философом), когда он читал работы Фреге, он взглянул на эту теорию, которую имел Фреге, и подумал: « У вас может быть набор чисел, у вас может быть набор наборов, вы могли бы иметь набор наборов, которые являются членами самих себя, у вас может быть набор наборов, которые не являются членами самих себя », и затем он подумал:« Подождите, если у вас есть набор наборов, которые не были членами самих себя, будет ли этот набор членом самого себя или нет? » Ну, если бы он был членом самого себя, то он не должен был быть членом самого себя, потому что он должен был быть набором наборов, которые не являются членами самих себя, так что лучше не быть членом самой себя.Но если он не является членом самого себя, то это набор, который не является членом самого себя, поэтому он должен быть членом этого набора.

Поначалу они выглядели как партийные уловки, но теперь мы получили парадокс и противоречие, лежащие в основе того, что считалось основой математики в начале 20 века.

И это было большим ударом для Фреге. Известно, что Фреге собирался опубликовать второй том своей великой работы «Основы», и ему пришлось приложить приложение со словами: «Бертран Рассел указал на этот недостаток прямо в сердце. моей теории, я думаю, что смогу ее решить », — и он предложил решение, но, как оказалось, на самом деле это не было жизнеспособным решением.

Я немного расскажу о парадоксах в теории множеств, потому что есть еще один парадокс, который на самом деле довольно интересен и возвращает нас к разговору о парадоксах истины или так называемых семантических парадоксах. Итак, примерно 40 лет спустя, примерно в 1940 году, человек по имени Хаскелл Б. Керри, американский логик, математик-логик, размышлял о парадоксе Рассела и сказал: ну, в самом сердце парадокса Рассела лежит отрицание, он говорит о парадоксе Рассела. набор всех наборов, которые не являются членами самих себя, и мне интересно, действительно ли вы можете заставить этот парадокс работать даже без использования отрицания? Есть ли способ сделать это? И он подумал: да, есть способ сделать это, давайте подумаем о наборе всех наборов, что если они являются членами самих себя, то ничто не равно единице.Это опять же согласно теории множеств, которая выглядит как жизнеспособное множество. Но теперь, если мы подумаем об этом множестве, если бы он был членом самого себя, тогда он был бы таким, что удовлетворял бы условию, что если он является членом самого себя, то ничто не равно единице. Но мы предположили, что он является членом самого себя, поэтому отсюда следует, что ничто не равно единице. И кажется совершенно очевидным, что ничто не может быть равным единице, поэтому мы отступаем и говорим, что оно не может быть частью самого себя. Что ж, если он не является членом самого себя, то немедленно следует, что либо он не является членом самого себя, либо ничто не равно единице.Но это то же самое, что сказать, что если он является членом самого себя, то ничто не равно единице, это то же самое, что сказать, что либо он не является членом самого себя, либо ничто не равно единице, то есть если он является членом самого себя, то это не тот случай, когда он не является членом самого себя, тогда ничто не равно единице. Но теперь он удовлетворяет условию быть членом самого себя, поэтому мы доказали, что он является членом самого себя. Но теперь, когда он показал, что он является членом самого себя, отсюда следует, что он удовлетворяет условию: если он является членом самого себя, то ничто не равно единице.

Помогите! Мы доказали, что нет ничего равного единице! Итак, в основе математики снова лежит настоящее ужасное противоречие и парадокс.

И несколько лет спустя люди перевели этот парадокс обратно в семантические парадоксы, о которых я говорил ранее, а затем мы превратили его в форму предложения, в которой говорится: «Если предложение истинно, то ничто не равно единице» или даже «Если предложение истинно, значит, Бог существует». И тогда мы можем всего в нескольких строках привести доказательство того, что Бог существует, или что-то еще, что мы хотели бы взять: ничто не равно единице, Бог существует, сегодня в Москве идет дождь, мы можем доказать все, что захотим, с таким предложением.Люди думают об истине, поэтому это очень опасно, знаете ли, правда ли это так? Правда ли противоречивое понятие?

И в заключение я кратко расскажу о парадоксе знающего, чтобы показать, что эти парадоксы имеют несколько большее значение. Итак, теперь я думаю о предложении «Вы не знаете этого предложения», о том, что это предложение, которое я говорю, вы его не знаете. Теперь предположим, что вы это знаете. Что ж, вы можете знать только то, что является правдой, поэтому, если вы это знаете, то это правда, и в этом случае вы этого не знаете, потому что это то, что говорится.Итак, если вы предполагаете, что знаете это, значит, вы этого не знаете. Но теперь давайте подумаем о том, что мы доказали, что вы этого не знаете, но в нем говорилось, что вы этого не знаете, так оно и было, поэтому мы доказали это. И, конечно, если мы что-то доказываем, мы доказали, что что-то правда, то мы это знаем, у нас есть доказательства этого. Итак, мы фактически доказали, что вы знаете это предположение, а также тот факт, что вы не знаете это утверждение, так что мы получили эпистемический парадокс.

Итак, чтобы подвести итог, я описал ряд семантических парадоксов, в основном связанных с истиной, я показал, что они очень похожи на некоторые теоретико-множественные парадоксы, лежащие в основе основ математики.И на самом деле есть также эпистемические парадоксы, которые применимы как к таким понятиям, как знание, так и к понятиям, подобным истине. Подводя итог тому, что я сказал, я имею в виду, что я описал ряд семантических парадоксов, таких как парадокс лжеца и парадокс Эпименида, и парадокс открытки, который применим к концепции истины (мы говорим о лжи, истине и ложь и т. д.), а затем я описал ряд теоретико-множественных парадоксов, которые возникают в математике. И затем в конце я только что обсудил парадокс познающего, эпистемические парадоксы.

То, что вы можете сразу увидеть, я думаю, насколько важно, чтобы мы нашли какое-то решение для них в том, что касается математики, потому что мы искали основы математики, которые были бы прочными и надежными, чтобы гарантировать, что мы не сделаем ничего ошибки в математике, и у нас есть противоречие прямо в основе. Так что нам, безусловно, нужно решение, касающееся математических, теоретико-множественных, но также и с точки зрения семантических парадоксов. Концепция истины — это то, о чем думают философы, они хотят дать отчет о природе истины.Что нужно для того, чтобы предложение было правдой? Естественная мысль состоит в том, что утверждение истинно, только если вещи таковы, как они говорят; Что ж, посмотрите на парадокс лжеца: «это правда, если я лгу», ну, это сразу же парадоксально и ведет к противоречию. Итак, нам нужно переосмыслить концепцию истины, некоторые люди хотят переосмыслить логику, лежащую в основе этого, и методы рассуждения, которые мы использовали, чтобы получить противоречие. И это важно, если мы хотим получить правильное понимание концепций истины и знания.

Почетный профессор истории и философии логики Сент-Эндрюсского университета в Исследовательском центре логики, языка, метафизики и эпистемологии Arché, Сент-Эндрюсский университет

.

Номер игры | Британника

Числовая игра , любая из различных головоломок и игр, связанных с математическими аспектами.

Математические развлечения включают головоломки и игры, которые варьируются от простых забав до сложных задач, некоторые из которых так и не были решены. Они могут включать арифметику, алгебру, геометрию, теорию чисел, теорию графов, топологию, матрицы, теорию групп, комбинаторику (занимающуюся проблемами компоновок или схем), теорию множеств, символическую логику или теорию вероятностей.Любая попытка классифицировать этот пестрый ассортимент материала в лучшем случае произвольна. В эту статью включены история и основные типы числовых игр и математических игр, а также принципы, на которых они основаны. Подробности, включая описания головоломок, игр и развлечений, упомянутых в статье, можно найти в ссылках, указанных в библиографии.

Порой бывает сложно сказать, где заканчивается времяпрепровождение и начинается серьезная математика. Невинная головоломка, требующая пересечения пути, может привести к техническим тонкостям теории графов; простая задача подсчета частей геометрической фигуры может включать комбинаторную теорию; рассечение многоугольника может включать геометрию преобразований и теорию групп; Проблемы логического вывода могут включать матрицы.Проблема, которую в средневековье — или до того, как электронные компьютеры стали обычным явлением — считалась очень сложной, может оказаться довольно простой, если ее атаковать с помощью современных математических методов.

Математические развлечения универсальны. Стремление решить головоломку одинаково проявляется как у молодых, так и у старых, как у простых, так и у искушенных. Выдающийся английский математик Г. Харди заметил, что профессиональные создатели головоломок, осознавая эту склонность, усердно ее используют, прекрасно зная, что широкая публика получает интеллектуальное удовольствие от такой деятельности.

Britannica Premium: удовлетворение растущих потребностей искателей знаний. Получите 30% подписки сегодня.
Подпишись сейчас

Соответствующая литература стала обширной, особенно с начала 20 века. Некоторые из них повторяются, но, что довольно удивительно, сменяющие друг друга поколения находили старые каштаны весьма восхитительными, независимо от того, были ли они одеты в новую одежду или нет. Постоянно добавляется много нового материала.

История

Ранняя история

Люди всегда получали удовольствие от придумывания «проблем» с целью поставить задачу или доставить интеллектуальное удовольствие.Таким образом, многие математические игры раннего происхождения, которые время от времени появлялись в новой одежде, похоже, выжили в основном потому, что они апеллируют к человеческому чувству любопытства или загадочности. Некоторые из них уцелели от древних греков и римлян: в Средние века о них было мало что известно, но сильный интерес к таким проблемам возник в средние века, частично стимулированный изобретением книгопечатания, частично энтузиастами писателей арифметических текстов и отчасти из-за соперничества и споров между ранними алгебраистами и учеными.Такая деятельность была наиболее заметной на континенте, особенно в Италии и Германии. Известными участниками были раввин бен Эзра (1140 г.), Фибоначчи (Леонардо Пизанский; 1202 г.), Роберт Рекорд (1542 г.) и Джироламо Кардано (1545 г.).

Виды проблем

В целом проблемы были двух видов: проблемы, связанные с манипуляциями с объектами, и проблемы, требующие вычислений. Первое требовало небольшого количества математических навыков или совсем не требовало их, просто общего ума и изобретательности, как, например, так называемые задачи декантирования и сложных переходов.Типичный пример первого — это то, как отмерить одну кварту жидкости, если доступны только восьми-, пяти- и трехлитровые мерки. Примером трудных проблем перехода является дилемма трех пар, пытающихся перейти ручей в лодке, вмещающей только двух человек, причем каждый муж слишком ревнив, чтобы оставить свою жену в компании любого из других мужчин. За прошедшие годы появилось множество вариантов обоих типов проблем.

Некоторые примеры

Проблемы, связанные с вычислениями, также принимали различные формы; некоторые из них были следующими:

Нахождение числа

Придумайте число, утроите его и возьмите половину продукта; утроите это и возьмите половину результата; затем разделите на 9.Частное составит одну четвертую от исходного числа.

Задачи «Привет тебе Бог»

Например, в «Бог приветствует вас, всех вас, 30 товарищей», кто-то говорит: «Если бы нас было снова столько же и вдвое больше, то нас было бы 30». Сколько их было?

Задача на шахматной доске

Сколько зерен пшеницы требуется, чтобы поместить одно зерно на первый квадрат, 2 на второй, 4 на третий и так далее на 64 квадрата?

Лев в колодце

Это типично для многих задач, связанных со временем, необходимым для преодоления определенного расстояния с постоянной скоростью, и в то же время прогрессу препятствует постоянное ретроградное движение.Лев в колодце глубиной 50 ладоней. Ежедневно он поднимается на 1 / 7 ладони и скользит назад на 1 / 9 ладони. Через сколько дней он выберется из колодца?

Проблемы курьера

Типичными являются движения тел с заданной скоростью, в которых задается некоторое положение этих тел и требуется время, необходимое для их прибытия в какое-то другое заданное положение.

.

логических парадоксов Википедия

Заявление, которое явно противоречит самому себе

Этот кажущийся невозможным объект, расположенный в Готшухене, Австрия, выступает в виде треугольника Пенроуза.

Парадокс , также известный как антиномия, является логически противоречивым утверждением или утверждением, противоречащим ожиданиям. [1] [2] Это утверждение, которое, несмотря на очевидно обоснованные рассуждения из истинных посылок, приводит к кажущемуся внутренним противоречиям или логически неприемлемым выводам. [3] [4] Парадокс обычно включает противоречивые, но взаимосвязанные элементы, которые существуют одновременно и сохраняются во времени. [5] [6] [7]

В логике существует множество парадоксов, которые, как известно, являются неверными аргументами, но, тем не менее, ценными для развития критического мышления, [8] , в то время как другие парадоксы имеют выявили ошибки в определениях, которые считались строгими, и вызвали пересмотр аксиом математики и логики. [1] Одним из примеров является парадокс Рассела, который ставит под сомнение, будет ли «список всех списков, которые не содержат самих себя», включать сам себя, и показал, что попытки основать теорию множеств по идентификации множеств со свойствами или предикатами были ошибочными. [9] [10] Другие, такие как парадокс Карри, не могут быть легко разрешены путем внесения фундаментальных изменений в логическую систему. [11]

Примеры, выходящие за рамки логики, включают корабль Тесея из философии, парадокс, который ставит под вопрос, будет ли корабль, отремонтированный с течением времени, заменяя все его деревянные части, по одной, таким же кораблем. [12] Парадоксы также могут принимать форму изображений или других носителей. Например, M.C. Во многих своих рисунках Эшер изображал парадоксы, основанные на перспективе, со стенами, которые с других точек зрения считаются этажами, и лестницами, которые кажутся бесконечными. [13]

В общем употреблении слово «парадокс» часто относится к ироническим или неожиданным высказываниям, таким как «парадокс, что стоять утомительнее, чем ходить». [14]

Логический парадокс []

Общие темы парадоксов включают самоотнесение, бесконечный регресс, круговые определения, а также путаницу или двусмысленность между различными уровнями абстракции.

Патрик Хьюз описывает три закона парадокса: [15]

Самостоятельная ссылка
Примером может служить утверждение «Это утверждение ложно», форма парадокса лжеца. Заявление относится к самому себе. Другой пример самоотнесения — это вопрос о том, бреется ли парикмахер в соответствии с парадоксом парикмахера. Еще один пример связан с вопросом «Является ли ответ на этот вопрос« Нет »?»
Противоречие
«Это ложное утверждение»; утверждение не может быть ложным и истинным одновременно.Другой пример противоречия — если мужчина, разговаривая с джинном, желает, чтобы его желания не сбылись. Это противоречит самому себе, потому что, если джинн исполняет свое желание, он не исполнил свое желание, а если он отказывается исполнить свое желание, то он действительно исполнил свое желание, что делает невозможным ни исполнить, ни не исполнить его желание, не приводя к противоречие.
Порочная округлость или бесконечный регресс
«Это ложное утверждение»; если утверждение истинно, то оно ложно, тем самым делая утверждение истинным.Другой пример порочной замкнутости — следующая группа утверждений:

«Следующее предложение верно».
«Предыдущее предложение неверно».

Другие парадоксы связаны с ложными утверждениями и полуправдой (« невозможно, нет в моем словаре») или полагаться на поспешное предположение. (Отец и его сын попали в автокатастрофу; отец убит, а мальчика доставили в больницу. Врач говорит: «Я не могу прооперировать этого мальчика. Он мой сын.«Нет никакого парадокса, если мать мальчика — хирург.)

Парадоксы, которые не основаны на скрытой ошибке, обычно возникают на грани контекста или языка и требуют расширения контекста или языка, чтобы потерять свое парадоксальное качество. Парадоксы, возникающие из-за очевидного понятного использования языка, часто интересуют логиков и философов. «Это предложение ложно» — пример хорошо известного парадокса лжеца: это предложение нельзя последовательно интерпретировать как истинное или ложное, потому что, если известно, что оно ложно, то можно сделать вывод, что оно должно быть истина, и если известно, что она истинна, то можно сделать вывод, что она должна быть ложной.Парадокс Рассела, который показывает, что представление о как о множестве всех тех множеств, которые не содержат самих себя , ведет к противоречию, сыграл важную роль в развитии современной логики и теории множеств. [9]

Мысленные эксперименты также могут давать интересные парадоксы. Парадокс дедушки, например, возник бы, если бы путешественник во времени убил своего дедушку до того, как зачали его мать или отец, тем самым предотвратив собственное рождение. [16] Это конкретный пример более общего наблюдения эффекта бабочки, или того, что взаимодействие путешественника во времени с прошлым — пусть даже незначительное — повлечет за собой внесение изменений, которые, в свою очередь, изменят будущее, в котором Путешествие во времени еще не произошло и, таким образом, изменило бы обстоятельства самого путешествия во времени.

Часто кажущийся парадоксальным вывод возникает из непоследовательного или по своей сути противоречивого определения исходной посылки. В случае очевидного парадокса путешественника во времени, убивающего своего собственного деда, это непоследовательность в определении прошлого, к которому он возвращается, как чем-то отличного от того, которое ведет к будущему, из которого он начинает свое путешествие, но также настаивая на том, что он, должно быть, пришел в это прошлое из того же будущего, к которому оно ведет.

Классификация Куайна []

В. В. Куайн (1962) различал три класса парадоксов: [17]

Согласно классификации парадоксов Куайн :

  • Подлинный парадокс дает результат, который кажется абсурдным, но, тем не менее, демонстрируется, что он верен. Парадокс дня рождения Фредерика в году «Пираты Пензанса», устанавливает удивительный факт, что у двадцатилетнего парня было бы всего пять дней рождения, если бы он родился в високосный день.Точно так же теорема о невозможности Эрроу демонстрирует трудности в сопоставлении результатов голосования с волей народа. Одна из версий парадокса Монти Холла демонстрирует, что решение, которое имеет интуитивный шанс пятьдесят на пятьдесят, на самом деле сильно смещено в сторону принятия решения, которое, учитывая интуитивный вывод, игрок вряд ли примет. В науке 20-го века парадокс Гильберта Гранд-отеля и кота Шредингера — известные яркие примеры теории, доведенной до логического, но парадоксального конца.
  • Ложный парадокс устанавливает результат, что не только выглядит как ложным, но на самом деле является ложным из-за ошибки в демонстрации. Различные неверные математические доказательства (например, что 1 = 2) являются классическими примерами этого, часто полагающимися на скрытое деление на ноль. Другой пример — индуктивная форма парадокса лошади, которая ложно обобщает истинные конкретные утверждения. Парадоксы Зенона «фальшивы», заключающиеся, например, в том, что летящая стрела никогда не достигает своей цели или что быстрый бегун не может догнать черепаху с небольшим рывком.
  • Парадокс, который не относится ни к одному из классов, может быть антиномией, которая достигает противоречивого результата, правильно применяя общепринятые способы рассуждения. Например, парадокс Греллинга – Нельсона указывает на подлинные проблемы в нашем понимании идей истины и описания.

Четвертый тип, который можно альтернативно интерпретировать как частный случай третьего типа, иногда описывался со времен работы Куайна:

  • Парадокс, истинный и ложный одновременно и в одном и том же смысле, называется dialetheia .В западной логике, вслед за Аристотелем, часто предполагается, что не существует dialetheia , но они иногда принимаются в восточных традициях (например, в мохистах, [18] Gongsun Longzi, [19] и в Дзен [20] ) и в паранепротиворечивой логике. Было бы просто двусмысленностью или вопросом степени, например, как утверждать, так и отрицать, что «Джон здесь», когда Джон находится на полпути к двери, но одновременно утверждать и отрицать это событие противоречиво.

В философии []

Вкус к парадоксу занимает центральное место в философии Лао-Цзы, Зенона Элейского, Чжуан-цзы, Гераклита, Бхартхари, Мейстера Экхарта, Гегеля, Кьеркегора, Ницше и Г.К. Честертон и многие другие. Сорен Кьеркегор, например, пишет в Philosophical Fragments , что:

Но нельзя плохо думать о парадоксе, потому что парадокс — это страсть мысли, а мыслитель без парадокса подобен любовнику без страсти: посредственный парень.Но высшая потенция каждой страсти всегда состоит в том, чтобы воля к собственному падению, и поэтому это также высшая страсть понимания, желающая столкнуться, хотя в той или иной мере столкновение должно стать ее падением. В этом заключается главный парадокс мысли: желание открыть то, что сама мысль мыслить не может. [21]

В медицине []

Парадоксальная реакция на лекарство противоположна ожидаемой, например, возбуждение от седативного средства или успокоение от стимулятора. Wilson MP, Pepper D, Currier GW, Holloman GH, Feifel D (февраль 2012 г.). «Психофармакология возбуждения: согласованное заявление рабочей группы БЕТА проекта Американской ассоциации экстренной психиатрии». Западный журнал экстренной медицины . 13 (1): 26–34. DOI: 10.5811 / westjem.2011.9.6866. PMC 3298219. PMID 22461918.

Библиография []

  • Frode Alfson Bjørdal, Либрационистское закрытие парадоксов , Logic and Logical Philosophy, Vol.21 № 4 (2012), стр. 323-361.
  • Марк Сейнсбери, 1988, Парадоксы, Кембридж: Cambridge University Press,
  • Уильям Паундстон, 1989, Лабиринты разума: парадокс, головоломки и хрупкость знания, Якорь
  • Рой Соренсен, 2005, Краткая история парадокса: философия и лабиринты разума, Oxford University Press,
  • Патрик Хьюз, 2011, Парадоксюморон: глупая мудрость в словах и изображениях, обратная перспектива

Внешние ссылки []

Викицитатник содержит цитаты, связанные с: Paradox
Найдите paradox в Wiktionary, бесплатном словаре.
Викискладе есть медиафайлы, связанные с Paradoxes .

Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 07.07.2005 и не отражает последующих s.

Ссылки на статьи по теме

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.